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【题目】已知函数f(x)= ,g(x)=ax﹣3.
(1)当a=l时,确定函数h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)若对任意x∈[0,4],总存在x0∈[﹣2,2],使得g(x0)=f(x)成立,求 实数a的取值范围.

【答案】
(1)解:由题意:当a=l时,确定函数h(x)=f(x)﹣g(x)=)= ﹣x+3.

∵x∈(0,+∞)

= >0,

∴h(x)在(0,+∞)上是单调增函数


(2)解:由题意:x∈[0,4]上函数f(x)= 的值域M=[3,5],

设函数g(x)=ax﹣3的值域N.

∵x0∈[﹣2,2],g(x)=ax﹣3.

当a=0时,g(x)=﹣3,即值域N={﹣3},

∵MN,

∴不满足题意.

当a>0时,函数g(x)在定义域内为增函数,其值域N=[﹣2a﹣3,2a﹣3],

∵MN,

∴需满足

解得:a≥4.

当a<0时,函数g(x)在定义域内为减函数,其值域N=[2a﹣3,﹣2a﹣3],

∵MN,

∴需满足

解得:a≤﹣4.

综上所得:对任意x∈[0,4],总存在x0∈[﹣2,2],使得g(x0)=f(x)成立,

实数a的取值范围是(﹣∞,﹣4]∪[4,+∞)


【解析】(1)由题意:当a=l时,确定函数h(x)=f(x)﹣g(x)=)= ﹣x+3.判断x在(0,+∞)上 与x的大小可得单调性.(2)求解x∈[0,4]上函数f(x)= 的值域M,x0∈[﹣2,2]上,对a讨论函数g(x)=ax﹣3的值域N,
根据MN,可得实数a的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识,掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较.

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