Question

已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点.
① 若直线垂直于轴，求的大小;
② 若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）（ⅰ）当直线垂直于轴时，直线的方程为.
（ⅱ）当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.

试题分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，且.
由题意可知：，.             2分
解得.            
∴ 椭圆的标准方程为.           3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.设.
（ⅰ）当直线垂直于轴时，直线的方程为.
由 解得：或
即（不妨设点在轴上方）.        5分
则直线的斜率，直线的斜率.
∵ ，得 .
∴ .                 6分
（ⅱ）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.
由消去得：.
因为 点在椭圆的内部，显然.
          8分
因为 ，，，
所以


.
∴ .    即为直角三角形.                   11分
假设存在直线使得为等腰三角形，则.
取的中点，连接，则.
记点为.

另一方面，点的横坐标，
∴点的纵坐标.
又
故与不垂直，矛盾.
所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.              13分
点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质。解题过程中，运用平面向量的数量积，“化证为算”，达到证明目的。