Question

已知函数y=(

1

4

)x-(

1

2

)x+1的定义域为[-3，2]，
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的值域．

Answer 1

分析：（1）由题意，此函数是一个内层函数是指数函数外层函数是二次函数的复合函数，可令t=(

1

2

)x，换元求出外层函数，分别研究内外层函数的单调性，结合函数的定义域判断出函数的单调区间；
（2）由题意，可先求出内层函数的值域，再求外层函数在内层函数上的值域．

解答：解：（1）令t=(

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2

)x，则y=t²-t+1=（t-

1

2

）²+

3

4

当x∈[1，2]时，t=(

1

2

)x是减函数，此时t∈[

1

4

，

1

2

]，在此区间上y=t²-t+1是减函数
当x∈[-3，1]时，t=(

1

2

)x是减函数，此时t∈[

1

2

，8]，在此区间上y=t²-t+1是增函数
∴函数的单调增区间为[1，2]，单调减区间为[-3，1]
（2）∵x∈[-3，2]，
∴t∈[

1

4

，8]
由（1）y=t²-t+1=（t-

1

2

）²+

3

4

∴函数的值域为[

3

4

，57]

点评：本题考查指数函数单调性的运用，复合函数单调性的判断规则，复合函数的值域的求法，解题的关键是理解并掌握复合函数单调性的判断规则及复合函数值域求法步骤，本题中判断复合函数的单调性是难点，外层函数不是单调函数，内层函数是单调性函数，此类复合函数求单调区间，要注意根据外层函数的单调区间求出内层函数的单调区间，要理解此规律，本题的解法具有一般性可推广，本题考查了分类讨论的思想，判断推理的能力及计算能力