Question

f（x）是定义域为R的增函数，且值域为R₊，则下列函数中为减函数的是（　　）

• A．f（x）+f（-x）
• B．f（x）-f（-x）
• C．f（x）?f（-x）
• D．

  f(-x)

  f(x)

Answer 1

分析：由已知可得，x₁＜x₂时，0＜f（x₁）＜f（x₂），f（-x₁）＞f（-x₂）＞0，然后分别判断
f（x₁）+f（-x₁）与f（x₂）+f（-x₂）的大小关系
f（x₁）-f（-x₁）与f（x₂）-f（-x₂）的大小关系
f（x₁）•f（-x₁）与f（x₂）•f（-x₂）的大小关系

f(-x1)

f(x1)

与

f(-x2)

f(x2)

的大小关系即可判断各函数的单调性

解答：解：∵f（x）是定义域为R的增函数，且f（x）＞0
∴x₁＜x₂时，0＜f（x₁）＜f（x₂），
∴-x₁＞-x₂，f（-x₁）＞f（-x₂）＞0
A：令F（x）=f（x）+f（-x），则F（x₁）=f（x₁）+f（-x₁）与F（x₂）=f（x₂）+f（-x₂）的大小关系不定，即函数F（x）不单调
B：令G（x）=f（x）-f（-x），则G（x₁）=f（x₁）-f（-x₁）与G（x₂）=f（x₂）-f（-x₂）
则G（x₁）＜G（x₂）即函数G（x）单调递增
C：令H（x）=f（x）f（-x），则H（x₁）=f（x₁）•f（-x₁），H（x₂）=f（x₂）•f（-x₂）的大小关系不定，即函数F（x）不单调
D：令I（x）=

f(-x)

f(x)

，则由0＜f（x₁）＜f（x₂），f（-x₁）＞f（-x₂）＞0可得

f(-x1)

f(x1)

＞

f(-x2)

f(x2)

即I（x₁）＞I（x₂）
则函数单调递减
故选D

点评：本题主要考查了函数的单调性的定义在函数的单调性的判断中的应用，还考查了不等式的性质的简单应用