已知椭圆 (a>b>0),A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0).证明.
证明见解析
本小题考查椭圆性质、直线方程等知识,以及综合分析能力.
证法一:设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2.又交点为P(x0,0),故|PA|=|PB|,即
(x1-x0)2+=(x2-x0)2+ ①
∵ A、B在椭圆上,∴, .
将上式代入①,得2(x2-x1) x0= ②
∵ x1≠x2,可得 ③
∵ -a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,∴ -2a<x1+x2<2a,
∴
证法二:设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因P(x0,0)在AB的垂直平分线上,以点P为圆心,|PA|=r为半径的圆P过A、B两点,圆P的方程为(x-x0)2+y2=r2,
与椭圆方程联立,消去y得(x-x0)2x2=r2-b2,
∴ ①
因A、B是椭圆与圆P的交点,故x1,x2为方程①的两个根.由韦达定理得
x1+x2=x0.
因-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,故-2a<x1+x2=x0<2a,
∴
科目:高中数学 来源: 题型:
. 19(本小题满分14分)
已知椭圆 (a>b>0)与直线
x+y-1 = 0相交于A、B两点,且OA⊥OB
(O为坐标原点).
(I) 求 + 的值;
(II) 若椭圆长轴长的取值范围是[,],
求椭圆离心率e的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年江西省协作体高三5月第二次联考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知椭圆(a>b>0)抛物线,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
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2 |
(1)求的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC、BD过原点O,若,
(i) 求的最值.
(ii) 求四边形ABCD的面积;
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年江西省高三5月高考模拟理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知椭圆(a>b>0)抛物线,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
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1 |
|||
2 |
4 |
2 |
(1)求的标准方程;
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC、BD过原点O,若,
(i) 求的最值.
(ii) 求四边形ABCD的面积;
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年四川省绵阳市高三第二次月考文科数学试卷 题型:解答题
已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为Fl vF2 ,离心率,A为右顶点,K为右准线与x轴的交点,且.
(1) 求椭圆的标准方程
(2) 设椭圆的上顶点为B,问是否存在直线l,使直线l交椭圆于C,D两点,且椭圆的左焦点F1恰为的垂心?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.
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