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已知椭圆 (a>b>0),AB是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0).证明

证明见解析


解析:

本小题考查椭圆性质、直线方程等知识,以及综合分析能力.

证法一:设AB的坐标分别为(x1y1)和(x2y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1x2.又交点为P(x0,0),故|PA|=|PB|,即

(x1x0)2+=(x2x0)2+     ①

∵    AB在椭圆上,∴

将上式代入①,得2(x2x1) x0=     ②

∵    x1x2,可得         ③

∵    -ax1a,-ax2a,且x1x2,∴  -2a<x1+x2<2a

∴   

证法二:设AB的坐标分别为(x1y1)和(x2y2).因P(x0,0)在AB的垂直平分线上,以点P为圆心,|PA|=r为半径的圆PAB两点,圆P的方程为(xx0)2+y2=r2

与椭圆方程联立,消去y得(xx0)2x2=r2b2

   ①

AB是椭圆与圆P的交点,故x1x2为方程①的两个根.由韦达定理得

x1+x2=x0

因-ax1a,-ax2a,且x1x2,故-2a<x1+x2=x0<2a

练习册系列答案
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. 19(本小题满分14分)

       已知椭圆 (a>b>0)与直线

       x+y-1 = 0相交于AB两点,且OAOB

       (O为坐标原点).

(I)   求 + 的值;

(II)  若椭圆长轴长的取值范围是[,],

       求椭圆离心率e的取值范围.

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已知椭圆(a>b>0)抛物线,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:

4

1

2

4

2

(1)求的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC、BD过原点O,若,

(i) 求的最值.

(ii) 求四边形ABCD的面积;

 

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4

1

2

4

2

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