已知 是等差数列,
是公比为
的等比数列,
,记
为数列
的前
项和,
(1)若是大于
的正整数
,求证:
;
(2)若是某一正整数
,求证:
是整数,且数列
中每一项都是数列
中的项;
(3)是否存在这样的正数,使等比数列
中有三项成等差数列?若存在,写出一个
的值,并加以说明;若不存在,请说明理由;
(1)
(2)存在使得
中有三项
成等差数列。
解析试题分析:设的公差为
,由
,知
,
(
)
(1)因为,所以
,
,
所以
(2),由
,
所以解得,
或
,但
,所以
,因为
是正整数,所以
是整数,即
是整数,设数列
中任意一项为
,设数列
中的某一项
=
现在只要证明存在正整数,使得
,即在方程
中
有正整数解即可,
,所以
,若
,则
,那么
,当
时,因为
,只要考虑
的情况,因为
,所以
,因此
是正整数,所以
是正整数,因此数列
中任意一项为
与数列
的第
项相等,从而结论成立。
(3)设数列中有三项
成等差数列,则有
2设
,所以2
,令
,则
,因为
,所以
,所以
,即存在
使得
中有三项
成等差数列。
考点:本题主要考查等比数列的通项公式、求和公式,等差数列的概念。
点评:难题,等比数列、等差数列相关内容,已是高考必考内容,其难度飘忽不定,有时突出考查求和问题,如“分组求和法”、“裂项相消法”、“错位相减法”等,有时则突出涉及数列的证明题,如本题,突出考查学生的逻辑思维能力。本题解法中,注意通过构造“一般项”加以研究,带有普遍性。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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