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13.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=9,a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足bn=(an-1)2n,求数列{bn}的前n项和Tn

分析 (1)根据条件可知a32=a1a7,即(a1+2d)2=a1(a1+6d),d和a1的关系,S3=3a2,即可求得a1和d,数列{an}的通项公式;
(2)求得数列{bn}的通项公式,采用乘以公比“错位相减法”,即可求得数列{bn}的前n项和Tn

解答 解:(1)等差数列{an}公差为d,首项为a1
∵a1,a3,a7成等比数列.
∴a32=a1a7
即(a1+2d)2=a1(a1+6d),
化简得d=$\frac{1}{2}$a1,或d=0(舍去).
当d=$\frac{1}{2}$a1
由等差数列S3=3a2
∴a2=3,得a1=2,d=1.
∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)=n+1,即an=n+1,
数列{an}的通项公式an=n+1;
(2)由(1)可知:an=n+1,
bn=(an-1)2n=(n+1-1)2n=n•2n
∴bn=n•2n
数列{bn}的前n项和Tn,Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n
2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1
两式相减:得-Tn=2+22+22+…+2n-n×2n+1
=2n+1-2-n×2n+1
∴Tn=(n-1)2n+1+2.
数列{bn}的前n项和Tn,Tn=(n-1)2n+1+2.

点评 本题考查求等差数列的通项公式,考查采用错位相减法求数列的前n项和,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列的性质的合理运用,属于中档题.

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