Question

已知△ABC的外接圆圆心为O，半径为1，

AO

=x

AB

+y

AC

（xy≠0），且x+2y=1，则△ABC的面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：取AC的中点D，根据已知条件推断O，B，D共线，进而根据AC为x轴，BD为y轴，建立坐标系，设出A，C的坐标，求出B的坐标，进而表示三角形面积，利用换元法令m=cosα，最后通过对三角形面积表达式求导，确定面积最大值α的值，进而求得此时三角形的面积．

解答： 解：取AC的中点D，
∵

AO

=x

AB

+y

AC

=x

AB

+2y

AD

，x+2y=1，
∴O，B，D三点共线，
以AC为x轴，BD为y轴，建立坐标系，
设A（-m，0），则C（m，0），B（0，1+

1-m2

），
S_△ABC=

1

2

•2m•（1+

1-m2

）（0＜m＜1），
令m=cosα，α∈（0，

π

2

），
则S_△ABC=cosα+cosαsinα，
∴当S'_△ABC=0时，α=

π

6

，
∴当α=

π

6

时，三角形面积取最大值，最大值为

3

2

+

3

2

×

1

2

=

3 3

4

．
故答案为：

3 3

4

．

点评：本题主要考查了平面向量及应用，解三角形问题．用换元法，利用三角函数有界性是求最值的常用方法．