Question

15．如图，M为椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点，F₁是它的下焦点，F₁也是抛物线x²=-4y的焦点，直线MF₁与椭圆C的另一个交点为N，满足$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{{F}_{1}N}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是上下顶点），且满足AA₂⊥BA₂（A₂为上顶点），求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可得M（-b，0），抛物线x²=-4y的焦点为（0，-1），即有F₁（0，-1），设N（m，n），再也向量共线的坐标表示，运用代入法，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，化简整理，可得m的值，再由直线方程，可得定点．

解答 解：（1）由题意可得M（-b，0），抛物线x²=-4y的焦点为（0，-1），
即有F₁（0，-1），设N（m，n），
由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{{F}_{1}N}$，可得b=$\frac{5}{3}$m，-1=$\frac{5}{3}$（n+1），
即为m=$\frac{3}{5}$b，n=-$\frac{8}{5}$，代入椭圆方程可得，
$\frac{64}{25{a}^{2}}$+$\frac{9}{25}$=1，解得a²=4，
又c=1，可得b²=a²-c²=3，
则椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1；
（2）证明：由题意可得A₂（0，2），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线y=kx+m和椭圆方程联立，可得
（4+3k²）x²+6kmx+3m²-12=0，
则x₁+x₂=-$\frac{6km}{4+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-12}{4+3{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m，
由AA₂⊥BA₂，可得$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}}$=-1，
即为x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=0，
即有（1+k²）x₁x₂+m²+（km-2k）（x₁+x₂）+4-4m=0，
即（1+k²）（3m²-12）+（m-2）²（4+3k²）+k（m-2）（-6km）=0，
化简可得m=2（舍去）或m=$\frac{2}{7}$，
则直线方程为y=kx+$\frac{2}{7}$，则直线恒过定点（0，$\frac{2}{7}$）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用抛物线的焦点和向量共线的坐标表示，考查直线恒过定点的问题，注意运用直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和两直线垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．