Question

【题目】某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.
（1）求某户居民用电费用 （单位：元）关于月用电量 （单位：度）的函数解析式；
（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求 的值；

（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记 为该居民用户1月份的用电费用，求 的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）

当 时， ；

当 时， ，

当 时， ，

所以 与 之间的函数解析式为： ；

（2）

由（1）可知：当 时， ，则 ，

结合频率分布直方图可知： ，

∴ ；

（3）

由题意可知 可取50，150，250，350，450，550.

当 时， ，∴ ，

当 时， ，∴ ，

当 时， ，∴ ，

当 时， ，∴ ，

当 时， ，∴ ，

当 时， ，∴ ，

故 的概率分布列为：

	25	75	140	220	310	410
	0.1	0.2	0.3	0.2	0.15	0.05

所以随机变量 的数学期望

.

【解析】（1）分段计算，表示出y和x之间的关系；（2）根据y=260元计算出相对应的x的值为400，依据题意有P（x≤400）=0.8；P（x≤400）+P（400＜x≤600）=0.2；（3）根据期望值进行计算即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解频率分布直方图的相关知识，掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．