Question

已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，
（1）求f（x）的解析式； 
（2）若x∈[-2，3]，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），由3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，得3[k（x+1）+b]-2[k（x-1）+b]=2x+17，利用系数相等，得方程组，解出即可．
（2）先求出函数的单调区间，从而求出函数的最值问题，进而得出函数的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）是一次函数，
∴可设f（x）=kx+b（k≠0），
又∵3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，
∴3[k（x+1）+b]-2[k（x-1）+b]=2x+17，
∴kx+5k+b=2x+17，
∴

k=2 5k+b=17

，解得：

k=2 b=7

，
∴f（x）=2x+7；
（2）∵由（1）得k=2＞0
∴f（x）=2x+7在x∈[-2，3]上为增函数，
∴当x=-2时，函数f（x）有最小值为f（-2）=3，
当x=3时，函数f（x）有最大值为f（2）=13，
∴f（x）的值域为[3，13]．

点评：本题考查了求函数的解析式问题，考查了函数的单调性，函数的最值问题，是一道中档题．