Question

已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x-1)+g(1-x)=x²-2x-1，且g(1)=-1，f(x)=g(x+)+mlnx+(m∈R，x＞0)，
(1)求g(x)的表达式；
(2)若x＞0使f(x)≤0成立，求实数m的取值范围；
(3)设1＜m≤e，H(x)=f(x)-(m+1)x，证明：对x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H(x₁)-H(x₂)|＜1．

Answer 1

解：(1)设g(x)=ax²+bx+c(a≠0)，
于是g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)²+2c=(x-1)²-2，
所以，
又g(1)=-1，则，
所以。
(2)，
当m＞0时，由对数函数性质，f(x)的值域为R；
当m=0时，对，f(x)＞0恒成立；
当m＜0时，由，
列表如下：

这时，，
，
所以若，f(x)＞0恒成立，则实数m的取值范围是(-e，0]；
故若使f(x)≤0成立，则实数m的取值范围是(-∞，-e]∪(0，+∞)。
(3)因为对，，
所以H(x)在[1，m]内单调递减，
于是，
，
记，
则h′(m)=，
所以函数在(1，e]内是单调增函数，
所以h(m)≤h(e)=，故原命题成立．