Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+1，（a∈R）
（1）若在f（x）的图象上横坐标为

2

3

的点处存在垂直于y轴的切线，求a的值；
（2）若f（x）在区间（-2，3）内有两个不同的极值点，求a取值范围；
（3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象与函数f（x）的图象恰有三个交点，若存在，试出实数m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导数，再由f′（

2

3

）=0求解a．
（2）将“f（x）在区间（-2，3）内有两个不同的极值点”转化为“方程f′（x）=0在区间（-2，3）内有两个不同的实根”，用△＞0求解．
（3）在（1）的条件下，a=1，“要使函数f（x）与g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象恰有三个交点”即为“方程x²（x²-4x+1m）=0恰有三个不同的实根”．因为x=0是一个根，所以方程x²-4x+1-m=0应有两个非零的不等实根，再用判别式求解．

解答：解：（1）依题意，f′（

2

3

）=0
∵f′（x）=-3x²+2ax
-3（

2

3

）²+2•a•

2

3

=0，
∴a=1（3分）
（2）若f（x）在区间（-2，3）内有两个不同的极值点，
则方程f′（x）=0在区间（-2，3）内有两个不同的实根，
∴△＞0，f′（-2）＜0，f′（3）＜0，-2＜

a

3

＜3，
解得-3＜a＜

9

2

且a≠0
但a=0时，f（x）=-x³+1无极值点，
∴a的取值范围为（-3，0）∪（0，

9

2

）（8分）
（3）在（1）的条件下，a=1，
要使函数f（x）与g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象恰有三个交点，
等价于方程-x³+x²+1=x⁴-5x³+（2-m）x²+1，
即方程x²（x²-4x+1-m）=0恰有三个不同的实根．
∵x=0是一个根，
∴应使方程x²-4x+1-m=0有两个非零的不等实根，
由△=16-4（1-m）＞0，1-m≠0，解得m＞-3，m≠1（12分）
∴存在m∈（-3，1）∪（1，+∞），
使用函数f（x）与g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象恰有三个交点（13分）

点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了方程的根与函数的零点间的转化．还考查了计算能力和综合运用知识的能力．