Question

16．若方程kx-lnx=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）

• A． （1，ln2）
• B． $（{\frac{1}{e}，e}）$
• C． $（{0，\frac{1}{e}}）$
• D． （0，e）

Answer 1

分析 分离参数得k=$\frac{lnx}{x}$，作出f（x）=$\frac{lnx}{x}$的函数图象，根据函数图象即可得出k的范围．

解答 解：由kx-lnx=0得k=$\frac{lnx}{x}$，
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减，
∴当x=e时，f（x）取得最大值f（e）=$\frac{1}{e}$．
作出f（x）的函数图象如图所示：

∵方程kx-lnx=0有两个实数根，即方程k=f（x）有两解，
∴0＜k＜$\frac{1}{e}$．
故选C．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性与函数最值的计算，属于中档题．