Question

5．若α∈（-$\frac{π}{2}$，0），且2cos2α=sin（$\frac{π}{4}-α$），则cos2α的值为$\frac{\sqrt{15}}{8}$．

Answer 1

分析 由已知推导出cosα+sinα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，cosα-sinα=$\frac{\sqrt{30}}{4}$，解得cosα=$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{8}$，由此能求出cos2α．

解答 解：∵α∈（-$\frac{π}{2}$，0），∵sinα＜0，cosα＞0，
∵2cos2α=sin（$\frac{π}{4}-α$），
∴2（cos²α-sin²α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα），
∴cosα+sinα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，①
∴1+2sinαcosα=$\frac{1}{8}$，2sinαcosα=-$\frac{7}{8}$，
（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=1+$\frac{7}{8}$=$\frac{15}{8}$，
∴cosα-sinα=$\frac{\sqrt{30}}{4}$，②
联立①②，解得cosα=$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{8}$，
∴cos2α=2cos²α-1=2（$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{8}$）²-1=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{8}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式、二倍角公式的合理运用．