Question

3．在棱长为4的正方体ABCD-A′B′C′D′中，点P在棱CC′上，且CC′=2CP．
（1）求直线AA′与平面APD′所成角的正弦值；
（2）求二面角A-D′P-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线AA′与平面APD′所成的角的正弦值．
（2）求出平面BPD′的法向量和平面APD′的法向量，利用向量法能求出二面角A-D′P-B的余弦值．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系
D（0，0，0），A（4，0，0），D′（0，0，4），P（0，4，2），A′（4，0，4），B（4，4，0），
$\overrightarrow{{D}^{'}A}$=（4，0，-4），$\overrightarrow{{D}^{'}P}$=（0，4，-2），$\overrightarrow{A{A}^{'}}$=（0，0，4），
设平面APD′的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{D}^{'}A}=4x-4z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{D}^{'}P}=4y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，1，2），
设直线AA′与平面APD′所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{A{A}^{'}}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}^{'}}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{A{A}^{'}}|}$=$\frac{2}{3}$．
（2）$\overrightarrow{BP}$=（-4，0，2），设平面BPD′的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-4a+2c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}^{'}P}=4b-2c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
设二面角A-D′P-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{7}{\sqrt{9}•\sqrt{6}}$=$\frac{7\sqrt{6}}{18}$，
∴二面角A-D′P-B的余弦值为$\frac{7\sqrt{6}}{18}$．

点评 本题考查线面角的正弦值和二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．