分析 (1)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD′为z轴,建立空间直角坐标系,由此能求出直线AA′与平面APD′所成的角的正弦值.
(2)求出平面BPD′的法向量和平面APD′的法向量,利用向量法能求出二面角A-D′P-B的余弦值.
解答 解:(1)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD′为z轴,建立空间直角坐标系
D(0,0,0),A(4,0,0),D′(0,0,4),P(0,4,2),A′(4,0,4),B(4,4,0),
$\overrightarrow{{D}^{'}A}$=(4,0,-4),$\overrightarrow{{D}^{'}P}$=(0,4,-2),$\overrightarrow{A{A}^{'}}$=(0,0,4),
设平面APD′的法向量$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{D}^{'}A}=4x-4z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{D}^{'}P}=4y-2z=0}\end{array}\right.$,取x=2,得$\overrightarrow{m}$=(2,1,2),
设直线AA′与平面APD′所成的角为θ,
则sinθ=|cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{A{A}^{'}}$>|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}^{'}}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{A{A}^{'}}|}$=$\frac{2}{3}$.
(2)$\overrightarrow{BP}$=(-4,0,2),设平面BPD′的法向量为$\overrightarrow{n}$=(a,b,c),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-4a+2c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}^{'}P}=4b-2c=0}\end{array}\right.$,取a=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,1,2),
设二面角A-D′P-B的平面角为θ,
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{7}{\sqrt{9}•\sqrt{6}}$=$\frac{7\sqrt{6}}{18}$,
∴二面角A-D′P-B的余弦值为$\frac{7\sqrt{6}}{18}$.
点评 本题考查线面角的正弦值和二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | 两个点 | B. | 一个椭圆 | C. | 一条线段 | D. | 两条直线 |
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A. | -3≤a≤6 | B. | a≥6或a≤-3 | C. | -3<a<6 | D. | a>6或a<-3 |
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A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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A. | 若ac2>bc2,则a>b | B. | 若a<b<0,则a2<b2 | ||
C. | 若a>b>0,则$\frac{1}{a}$<$\frac{1}{b}$ | D. | 若a<b<0,c>d>0,则ac<bd |
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