Question

不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式a（x²+1）+b（x-1）+c＞2ax的解集为（ ）
A．{x|0＜x＜3}
B．{x|x＜0或x＞3}
C．{x|-2＜x＜1}
D．{x|x＜-2或x＞1}

Answer 1

【答案】分析：根据题目给出的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，且有，然后把要求解的不等式整理为二次不等式的一般形式，设出该不等式对应的二次方程的两根，借助于根与系数的关系求出两个根，再结合三个二次的关系可求得要求解的不等式的解集．
解答：解：因为不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，所以-1和2是方程ax²+bx+c=0的两根且a＜0，
所以，
由a（x²+1）+b（x-1）+c＞2ax，得：ax²-（2a-b）x+a-b+c＞0，
设ax²-（2a-b）x+a-b+c=0的两根为x₃，x₄，则①，
②，联立①②得：x₃=0，x₄=3，
因为a＜0，所以ax²-（2a-b）x+a-b+c＞0的解集为{x|0＜x＜3}，
所以不等式a（x²+1）+b（x-1）+c＞2ax的解集为{x|0＜x＜3}．
故选A．
点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了二次方程的根与系数关系，训练了借助于“三个二次”的关系求解一元二次不等式的方法，是基础题．