Question

已知a＞0，且a≠1，f(logax)=(

a

a2-1

)(x-

1

x

)．
（1）求f（x）的表达式，并判断其单调性；
（2 ）当f（x）的定义域为（-1，1）时，解关于m的不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0；
（3）若y=f（x）-4在（-∞，2）上恒为负值，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用对数函数的性质结合换元法令t=log_ax，从而推出x=a^t，导出f（t）后，直接把f（t）中的变量t都换成x就得到f（x），利用单调函数的定义和性质可判断单调性．
（2）结合f（x）的奇偶性与单调性进行求解：由y=f（x）（x∈R）的奇偶性、单调性，由f（1-m）+f（1-m²）＜0可得f（1-m）＜-f（1-m²），即f（1-m）＜f（m²-1），再y=f（x）在（-1，1）上是增函数求解m的取值范围．
（3）由当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，即f（x）-4＜0恒成立，根据函数的单调性可得f（2）-4≤0，整理即可解得a的取值范围．

解答：解：（1）：（1）令t=log_ax（t∈R），
则x=a^t，f（t）=

a

a2-1

（at-a-t）．
∴f（x）=

a

a2-1

（ax-a-x）（x∈R）．
①当a＞1时，指数函数y=a^x是增函数，y=（

1

a

）x=a-x是减函数，y=-a^-x是增函数．
∴y=a^x-a^-x为增函数，
又因为

a

a2-1

＞0，
∴f（x）=

a

a2-1

（ax-a-x）（x∈R）是增函数．
②当0＜a＜1时，指数函数y=a^x是减函数，
y=（

1

a

）x=a-x是增函数，y=-a^-x是减函数．
∴u（x）=a^x-a^-x为减函数．
又因为

a

a2-1

＜0，
∴f（x）=

a

a2-1

（ax-a-x）（x∈R）是增函数．
综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x），（x∈R）都是增函数．
（2）易判断函数f（x）是奇函数，f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜f（m²-1），
又f（x）为增函数，所以有

1-m＜1-m2 -1＜m-1＜1 -1＜m2-1＜1

，解得1＜m＜

2

，
故不等式的解集{m|1＜m＜

2

}；
（3）当x∈（0，2）时，f（x）-4的值恒为负数，即f（x）-4＜0恒成立，
因为f（x）为R上的单调增函数，则f（2）-4=

a

a2-1

（a2-a-2）-4≤0，
整理得a²-4a+1≤0，所以2-

3

≤a≤2+

3

，
又a＞0且a≠1，所以实数a的取值范围是[2-

3

，1）∪（1，2+

3

]．

点评：本题是函数奇偶性与单调性的综合应用，特别是后面抽象不等式及恒成立问题，难度较大．