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    已知函数f(x)=
    x2
    1+x2

    （1）由f(2)=
    4
    5
    ，f(
    1
    2
    )=
    1
    5
    ，f(3)=
    9
    10
    ，f(
    1
    3
    )=
    1
    10
    这几个函数值，你能发现f（x）与f(
    1
    x
    )    有什么关系？并证明你的结论；
    （2）求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)+f(
    1
    2
    )+f(
    1
    3
    )+…+f(
    1
    2010
    )    的值；
    （3）判断函数f(x)=
    x2
    1+x2
    在区间（0，+∞）上的单调性．
    分析：（1）通过观察这几个函数值，发现f（x）+f（
    1
    x
    ）=1，由函数f（x）的解析式可得到证明；
    （2）利用（1）中的结论将自变量互为的两个函数值相加即可救是答案；
    （3）利用函数单调性的定义进行证明即可，先设0＜x1＜x2由0＜x1＜x2知x1-x2＜0最后证得：f（x1）＜f（x2）从而
    函数f(x)=
    x2
    1+x2
    在区间（0，+∞）上为增函数．
    解答：解：（1）f（x）+f（
    1
    x
    ）=（12分）
    f（x）+f（
    1
    x
    ）=
    x2
    1+x2
    +
    1
    x2
     
    1+
    1
    x2
     
    =1（5分）
    （2）
    f(1)+f(2)+f(3)++f(2010)+f(
    1
    2
    )+f(
    1
    3
    )++f(
    1
    2010
    )
    =2009+
    1
    2
    =
    4019
    2
    （8分）
    （3）设0＜x1＜x2
    f(x1)-f(x2)=
    x
    2
    1
    1+
    x
    2
    1
    -
    x
    2
    2
    1+
    x
    2
    2
    =
    x
    2
    1
    (1+
    x
    2
    2
    )-
    x
    2
    2
    (1+
    x
    2
    1
    )
    (1+
    x
    2
    1
    )(1+
    x
    2
    2
    )
    =
    x
    2
    1
    -
    x
    2
    2
    (1+
    x
    2
    1
    )(1+
    x
    2
    2
    )
    =
    (x1+x2)(x1-x2)
    (1+
    x
    2
    1
    )(1+
    x
    2
    2
    )
    （11分）
    由0＜x1＜x2知x1-x2＜0（12分）
    所以有
    (x1+x2)(x1-x2)
    (1+
    x
    2
    1
    )(1+
    x
    2
    2
    )
    ＜0    即f（x1）-f（x2）＜0
    所以f（x1）＜f（x2）
    函数f(x)=
    x2
    1+x2
    在区间（0，+∞）上为增函数（14分）
    点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数的值、归纳推理等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    （1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
    （2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型：022

    已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．

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    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

    已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
    A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
    B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
    C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
    D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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