Question

（2013•宝山区二模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=a（a≠3），an+1=Sn+3n，设bn=Sn-3n，n∈N^*．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求实数a的最小值；
（3）当a=4时，给出一个新数列{e_n}，其中en=

3 ， n=1 bn ， n≥2

，设这个新数列的前n项和为C_n，若C_n可以写成t^p（t，p∈N^*且t＞1，p＞1）的形式，则称C_n为“指数型和”．问{C_n}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得S_n+1=2S_n+3ⁿ，当a≠3时，

bn+1

bn

=2，利用等比数列的定义即可证得数列{b_n}是等比数列；
（2）由（1）可得S_n-3ⁿ=（a-3）×2^n-1，a_n=S_n-S_n-1，n≥2，n∈N^*，从而可求得a_n=

a 2×3n-1+(a-3)×2n-2

n=1 n≥2

，由a_n+1≥a_n，可求得a≥-9，从而可求得实数a的最小值；
（3）由（1）当a=4时，b_n=2^n-1，当n≥2时，C_n=3+2+4+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹+1，C₁=3，可证得对正整数n都有C_n=2ⁿ+1，依题意由t^p=2ⁿ+1，t^p-1=2ⁿ，（t，p∈N^*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．分①当p为偶数时与②当p为奇数讨论即可得到答案．

解答：解：（1）a_n+1=S_n+3ⁿ⇒S_n+1=2S_n+3ⁿ，b_n=S_n-3ⁿ，n∈N^*，
当a≠3时，

bn+1

bn

=

Sn+1-3n+1

Sn-3n

=

2Sn+3n-3n+1

Sn-3n

=2，
所以{b_n}为等比数列．b₁=S₁-3=a-3，b_n=（a-3）×2^n-1．
（2）由（1）可得S_n-3ⁿ=（a-3）×2^n-1，
a_n=S_n-S_n-1，n≥2，n∈N^*，
∴a_n=

a 2×3n-1+(a-3)×2n-2

n=1 n≥2

，
∵a_n+1≥a_n，
∴a≥-9，又a≠3，
所以a的最小值为-9；
（3）由（1）当a=4时，b_n=2^n-1，
当n≥2时，C_n=3+2+4+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹+1，C₁=3，
所以对正整数n都有C_n=2ⁿ+1．
由t^p=2ⁿ+1，t^p-1=2ⁿ，（t，p∈N^*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．
①当p为偶数时，t^p-1=（t

p

2

+1）（t

p

2

-1）=2ⁿ，
因为t^p+1和t^p-1都是大于1的正整数，
所以存在正整数g，h，使得t^p+1=2^g，t

p

2

-1=2^h，2^g-2^h=2，2^h（2^g-h-1）=2，
所以2^h=2且2^g-h-1=1⇒h=1，g=2，相应的n=3，即有C₃=3²，C₃为“指数型和”；
②当p为奇数时，t^p-1=（t-1）（1+t+t²+…+t^p-1），由于1+t+t²+…+t^p-1是p个奇数之和，仍为奇数，又t-1为正偶数，
所以（t-1）（1+t+t²+…+t^p-1）=2ⁿ不成立，此时没有“指数型和”．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列求和，突出逻辑思维与创新思维、综合分析、运算能力的考查，属于难题．