Question

已知集合，
具有性质：对任意的，至少有一个属于.
（1）分别判断集合与是否具有性质；
（2）求证：①；
②；
（3）当或时集合中的数列是否一定成等差数列?说明理由.

Answer 1

（1）有 ,没有；（2）证明见解析；（3）时，是等差数列，时，不一定.

试题分析：（1）对于具体的集合，我们根据定义直接验证即可，如集合，
均属于集合，故个有性质，而集合，均不属于，则不具有性质；（2）易证，等式变形得，联想到等差数列的前项和求法，是不是有（这是成立的），（？），（？），…，由于，故，从而可看出只能是，，，…，，即成立，②式得证；（3）如果答案是肯定的，必须证明，如果答案是不确定的，则要举例说明，时，集合具有性质，但不是等差数列，和时，具有性质的集合中的数列是等差数列，时易证，首先，然后，即，故成等差，时，难一点，由（2）知，两式相减可得，而由于，即，则有，注意到，于是，又有，故数列是等差数列，
试题解析：（1）∵≒∴集合具有性质，
，，集合不具有性质.     3分
（2）由已知，，
则，仍由知；     5分

，，
     6分
将上述各式两边相加得
，即；     8分
（3）当时，集合中的数列一定是等差数列.
由（2）知，且，
故，而这里，反之若不然
这与集合中元素互异矛盾，只能，即
成等差数列．     9分
当时，集合中的元素不一定是等差数列.
如，中元素成等差数列，
又如，中元素不成等差数列；     11分
当5时，集合中的元素一定成等差数列
证明：
令①②
②①有，且由①
，  
，
又，
成等差数列．     13分