Question

从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b²，4b²]，则该椭圆离心率e的取值范围是     ．

Answer 1

【答案】分析：先设出椭圆的标准方程，在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，进而可表示出圆的内接矩形长和宽，进而表示出该矩形的面积，由3b²≤2ab≤4b²，求得3b≤2a≤4b，平方后，利用b=代入求得a和c的不等式关系，进而求得的范围，即离心率e的范围．
解答：解：设椭圆的标准方程为+=1，
在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）
则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，
内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
由已知得：3b²≤2ab≤4b²，
3b≤2a≤4b，
平方得：9b²≤4a²≤16b²，
9（a²-c²）≤4a²≤16（a²-c²），
5a²≤9c²且12 a²≥16 c²，
∴≤≤
即e∈[，]
故答案为：[，]
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆的应用和椭圆的参数方程的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．