Question

18．如图所示，已知多面体ABCDEF，平面ADEF⊥平面ABCD，ADEF为正方形，ABCD为直角梯形，且AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，M为线段ED上的动点．
（1）若M为ED的中点，求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥BM．

Answer 1

分析 （1）若M为ED的中点，取CD的中点H，根据面面平行的性质定理即可证明AM∥平面BEC；
（2）根据线面垂直的性质定理证明BC⊥平面BDE即可证明BC⊥BM．

解答 证明：（1）若M为ED的中点，取CD的中点H，连接MH，AH，
则MH是△CDE的中位线，
∴MH∥CE，
∵MH?平面BEC，CE?平面BEC，
∴MH∥平面BEC
在梯形ABCD中，∵AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴CH=AB，
即四边形ABCH为平行四边形，
∴AH∥BC，
∵AH?平面BEC，BC?平面BEC，
∴AH∥平面BEC
∵AH∩MH=H，
∴平面AMH∥平面BEC，
∵AM?平面AMH，
∴AM∥平面BEC；
（2）∵AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，H是CD的中点，
∴BD⊥BC，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，ADEF为正方形
∴ED⊥平面ABCD，ED⊥BC，
∵BD∩ED=D，
∴BC⊥平面BDE，
∵BM?平面BDE，
∴BC⊥BM．

点评 本题主要考查线面平行和垂直的判定，根据相应的判定定理以及性质定理是解决本题的关键．