Question

【题目】如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 线段OF1 ， OF2的中点分别为B1 ， B2 ， 且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过B1作l交椭圆于P、Q两点，使PB2垂直QB2 ， 求直线l的方程 ．

Answer 1

【答案】x+2y+2=0和x﹣2y+2=0
【解析】解：设所求椭圆的标准方程为 （a＞b＞0），右焦点为F2（c，0）．
∵△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，∴∠B1AB2为直角，
因此|OA|=|OB2|，得b= ．
结合c2=a2﹣b2 ， 得4b2=a2﹣b2 ， 故a2=5b2 ， c2=4b2 ， ∴离心率e= = ．
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2 ， 故 = |B1B2||OA|=|OB2||OA|= b=b2 ．
由题设条件△AB1B2的面积为4，得b2=4，从而a2=5b2=20．
因此所求椭圆的标准方程为： ．
则B1（﹣2，0），B2（2，0）．
由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：x=my﹣2．
代入椭圆方程得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0．
设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），则 ．
又 ，
∴由PB2⊥QB2 ， 得 ，
即16m2﹣64=0，解得m=±2．
∴满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x﹣2y+2=0，
故答案为：x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．

由题意设出椭圆的标准方程，结合已知列式求出椭圆方程，再设出直线l的方程x=my﹣2，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系结合向量数量积为0列式求得m值，则直线方程可求．