Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：

x=cosθ y=-1+sinθ

（1）判断曲线C的形状？并写出曲线C与y轴交点的极坐标．
（2）若曲线C与直线x+y+a=0有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把参数方程中的y=-1+sinθ移向，得到y+1=sinθ，平方作和即可得到圆的普通方程，并得到圆心坐标和半径，求出与y轴的交点为（0，0）、（0，-2），两点的极径分别为0，2，极角分别为0，

3π

2

；
（2）由圆心到直线的距离小于等于半径求解a的取值范围．

解答：解：（1）把曲线方程 

x=cosθ y=-1+sinθ

化为普通方程，得x²+（y+1）²=1，
可知曲线C是以（0，-1）为圆心，半径为1的圆．
它与y轴的交点为（0，0）、（0，-2）化为极坐标为（0，0）、（2，

3π

2

）；
（2）解：∵

x=cosθ y=-1+sinθ

，∴x²+（y+1）²=1．
由圆与直线有公共点，得d=

|0-1+a|

2

≤1，
解得1-

2

≤a≤1+

2

．
∴实数a的取值范围为[1-

2

，1+

2

]．

点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了点的直角坐标化极坐标，训练了由圆心到直线的距离判断圆与直线的位置关系，是中档题．