Question

（2013•房山区一模）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
某城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（Ⅰ）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（Ⅱ）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．

Answer 1

分析：（Ⅰ）从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，共有C

3 15

种情况，恰有一天空气质量达到一级，共有

C

1 4

C

2 11

种情况，由此可求概率；
（Ⅱ）ξ服从超几何分布：其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，故可得其分布列和数学期望；
（Ⅲ）一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P=

10

15

=

2

3

，一年中空气质量达到一级或二级的天数η～B（360，

2

3

），求出期望，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天
记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A
则P(A)=

C 1 4 • C 2 11

C 3 15

=

44

91

…（3分）
（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3，…（4分）
P(ξ=0)=

C 0 5 C 3 10

C 3 15

=

24

91

，
P(ξ=1)=

C 1 5 C 2 10

C 3 15

=

45

91

，
P(ξ=2)=

C 2 5 C 1 10

C 3 15

=

20

91

，
P(ξ=3)=

C 3 5 C 0 10

C 3 15

=

2

91

，…（8分）
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	24 91	45 91	20 91	2 91

…（9分）
Eξ=

24

91

×0+

45

91

×1+

20

91

×2+

3

91

×3=1…（10分）
（Ⅲ）15天的空气质量达到一级或二级的频率为

10

15

=

2

3

…（11分）
365×

2

3

=243

1

3

，
所以估计一年中有243

1

3

天的空气质量达到一级或二级．…（13分）
（说明：答243天，244天不扣分）

点评：本题考查等可能事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．