如图.我市有一个健身公园.由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ构成.其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD.按实际需要.四边形ABCD的两个顶点C.D分别在线段QR.PR上.另外两个顶点A.B在半圆上.AB∥CD∥PQ.且AB.CD间的距离为1km．设四边形ABCD的周长为ckm．(1)若C.D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD的周长为ckm．
（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长；
（2）求周长c的最大值．

考点：三角函数的最值,在实际问题中建立三角函数模型

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，运用等腰直角三角形的性质，
结合勾股定理计算即可得到AB的长；
（2）设∠BOM=θ，由解直角三角形可得BM，OM，即可得到c=AB+CD+BC+AD=2（sinθ+cosθ+

1+(sinθ-cosθ)2

），
再由

a+b

≤

a2+b2

（当且仅当a=b取得等号），计算即可得到最大值．

解答：

（1）解：连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，
∵C、D分别为QR、PR的中点，PQ=2，∴CD=

PQ=1，
∵△PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，∴RO=

PQ=1，NO=

RO=

．
∵MN=1，∴MO=

．
在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=

BO2-OM2

，
∴AB=2BM=

．　　　　　　　　　　
（2）设∠BOM=θ，0＜θ＜

，
在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=sinθ，OM=cosθ．
∵MN=1，∴CN=RN=1-ON=OM=cosθ，
∴BC=AD=

1+(sinθ-cosθ)2

，
∴c=AB+CD+BC+AD=2(sinθ+cosθ+

1+(sinθ-cosθ)2

)，≤2

(sinθ+cosθ)2+(

1+(sinθ-cosθ)2

，
当sinθ+cosθ=

1+(sinθ-cosθ)2

，即有sin2θ=

，
即θ=

或

5π

时取等号．
∴当θ=

或θ=

5π

时，周长c的最大值为2

km．

点评：本题考查三角函数的最值，考查重要不等式的运用，考查同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>