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(福建卷理)(本小题满分13分)

已知A,B 分别为曲线C+=1(y0,a>0)与x

的左、右两个交点,直线过点B,且与轴垂直,S

异于点B的一点,连结AS交曲线C于点T.

(1)若曲线C为半圆,点T为圆弧的三等分点,试求出点S的坐标;

(II)如图,点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点,试问:是否存在,使得O,M,S三点共线?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由。                                  

,故存在,使得O,M,S三点共线.


解析:

解 方法一

(Ⅰ)当曲线C为半圆时,如图,由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.

(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.

AB=2,故在△SAE中,有

 (2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,

(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SB为直线的圆上,故.

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.

设点

,从而.

亦即

,可得

经检验,当时,O,M,S三点共线.    故存在,使得O,M,S三点共线.

方法二:

(Ⅰ)同方法一.

(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SO为直径的圆上,故.

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为

设点,则有

所直线SM的方程为

O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.

故存在,使得O,M,S三点共线.

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