Question

20．已知sinβ+cosβ=$\frac{1}{5}$，β∈（0，π）
（1）求sin2β的值；
（2）求tanβ的值．

Answer 1

分析 （1）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出2sinβcosβ的值，即可得解．
（2）再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，整理求出sinβ-cosβ的值，联立两个关系式求出sinβ与cosβ的值，即可确定出tanβ的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）把sinβ+cosβ=$\frac{1}{5}$①，两边平方得：（sinβ+cosβ）²=1+2sinβcosβ=$\frac{1}{25}$，
∴sin2β=2sinβcosβ=-$\frac{24}{25}$＜0，
（2）由（1）可得（sinβ-cosβ）²=1-2sinβcosβ=$\frac{49}{25}$，
∵0＜β＜π，∴sinβ＞0，cosβ＜0，
则sinβ-cosβ=$\frac{7}{5}$②；
联立①②，解得：sinβ=$\frac{4}{5}$，cosβ=-$\frac{3}{5}$，
则tanβ=$\frac{sinβ}{cosβ}$=-$\frac{4}{3}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．