Question

在如图所示的多面体中，底面△ABC是边长为2的正三角形，DA和EC均垂直于平面ABC，且DA=2，EC=1．
（Ⅰ）求点A到平面BDE的距离；
（Ⅱ）求二面角B-ED-A的正切值．

Answer 1

分析：（I）设点A到平面BDE的距离为h，然后根据V_B-ADE=V_A-BDE建立等式关系，求出h，即为点A到平面BDE的距离；
（II）取AC的中点M，连接BM，过M作MN⊥DE，交DE于N，连接BN，易知∠BNM是所求二面角的平面角，然后设AC、DE的延长线相交于点P，根据△MNP∽△DAP求出MN，可求出
二面角B-ED-A的正切值．

解答：解：（Ⅰ）∵DE=BE=

5

，BD=2

2

，
∴S_△BDE=

6

，设点A到平面BDE的距离为h．
又∵S_△ABC=

3

，V_B-ADE=V_A-BDE
∴

1

3

•

3

•2=

1

3

•

6

•h∴h=

2

即点A到平面BDE的距离为

2

． …（6分）
（Ⅱ）∵DA⊥平面ABC，∴平面DACE⊥平面ABC
取AC的中点M，连接BM，则BM⊥AC，BM⊥平面DACE．
过M作MN⊥DE，交DE于N，连接BN，则BN⊥DE，∴∠BNM是所求二面角的平面角．
设AC、DE的延长线相交于点P，∵DA=2EC，∴CP=2由△MNP∽△DAP得

MN

MP

=

DA

DP

，
MP=3，DA=2，DP=2

5

，∴MN=

3

5

又∵BM=

3

，∴tan∠BNM=

15

3

．  …（12分）

点评：本题主要考查了点到面的距离的度量以及二面角平面角的度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．