Question

14．已知命题p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若命题“p∧q”与命题“￢q”都是假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根，则$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，解得m范围．q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，则△＜0，解得m范围．若命题“p∧q”与命题“￢q”都是假命题，则q是真命题，p是假命题．

解答 解：命题p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根，则$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，解得m＞2．
q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，则△=16（m-2）²-16＜0，解得1＜m＜3．
若命题“p∧q”与命题“￢q”都是假命题，
则q是真命题，p是假命题．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$，
解得1＜m≤2．
∴实数m的取值范围是1＜m≤2．

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、一元二次方程有实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．