Question

下列命题：
①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），则y=f（x）在D上是增函数；
②y=-

1

x

在定义域内是增函数；
③函数f(x)=

1-x2

|x+1|-1

图象关于原点对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0 （x∈R）；  
其中正确的序号是

③

．

Answer 1

分析：根据增函数的定义判断①不正确；再由单调区间不能并在一起判断②不对；对于③需要由解析式求出定义域，再判断f（x）与f（-x）的关系，判断函数是奇函数，得到③正确；对于④可以改变定义域得到一个函数进行说明④不对．

解答：解：①、因为x+1与x不能代表定义域内任意的两个自变量，所以根据增函数的定义知，不能确定y=f（x）在D上是增函数，故①不对；
②、y=-

1

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上是增函数，不能把单调区间并在一起，故②不对；
③、由

1-x2≥0 |x+1|-1≠0

解得，-1≤x≤1且x≠0，则函数的定义域是{x|-1≤x≤1且x≠0}，
∴f(x)=

1-x2

|x+1|-1

=f(x)=

1-x2

x

，∴f（-x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数，故③正确；
④、如f（x）=0 （x∈[-2，2]）既是奇函数又是偶函数，故④不对．
故答案为：③．

点评：本题是有关函数的单调性与奇偶性的应用，主要利用增（减）函数的定义，奇（偶）函数的定义进行判断，可以结合实际例子进行说明．