Question

【题目】如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，CB=CD，AD=DB，P，Q分别在线段AB，AC上，AP=3PB，AQ=2QC，M是BD的中点．

（1）证明：DQ∥平面CPM；
（2）若二面角C﹣AB﹣D的大小为 ，求∠BDC的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AB的中点E，

则 ，所以EQ∥PC．

又EQ平面CPM，所以EQ∥平面CPM．

又PM是△BDE的中位线，所以DE∥PM，

从而DE∥平面CPM．

所以平面DEQ∥平面CPM，

故DQ∥平面CPM．

（2）解法1：由AD⊥平面BCD知，AD⊥CM

由BC=CD，BM=MD，知BD⊥CM，

故CM⊥平面ABD．

由（1）知DE∥PM，而DE⊥AB，故PM⊥AB．

所以∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角，

即 ．

设PM=a，则 ， ，

在Rt△CMD中， ．

所以∠BDC的正切值为 ．

解法2：以M为坐标原点，MC，MD，ME所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

设MC=a，MD=b，则C（a，0，0），B（0，﹣b，0），A（0，b，2b）

则 ，

设 平面ABC的一个法向量，

则 即 取

平面ABD的一个法向量为 ，

所以 ，所以

在Rt△CMD中，

所以∠BDC的正切值为 ．

【解析】（1）取AB的中点E，则EQ∥PC，从而EQ∥平面CPM，由中位线定理得DE∥PM，从而DE∥平面CPM，进而平面DEQ∥平面CPM，由此能证明DQ∥平面CPM．（2）法1：推导出AD⊥CM，BD⊥CM，从而CM⊥平面ABD，进而得到∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角，由此能求出∠BDC的正切值．法2：以M为坐标原点，MC，MD，ME所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出∠BDC的正切值．