Question

【题目】若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（﹣∞，4]，则该函数的解析式f（x）= ．

Answer 1

【答案】﹣2x2+4
【解析】解：由于f（x）的定义域为R，值域为（﹣∞，4]，

可知b≠0，∴f（x）为二次函数，

f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx2+（2a+ab）x+2a2．

∵f（x）为偶函数，

∴其对称轴为x=0，∴﹣ =0，

∴2a+ab=0，∴a=0或b=﹣2．

若a=0，则f（x）=bx2与值域是（﹣∞，4]矛盾，∴a≠0，

若b=﹣2，又其最大值为4，

∴ =4，∴2a2=4，

∴f（x）=﹣2x2+4．

所以答案是:﹣2x2+4

【考点精析】掌握函数的值域是解答本题的根本，需要知道求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．