Question

3．（1）设a，b，c均为正数，求证：$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中至少有一个不小于2；
（2）设a＞0，b＞0，a+b=1，试用分析法证明$\sqrt{1+2a}+\sqrt{1+2b}≤2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）假设$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$都小于2，则a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$＜6．再结合基本不等式，引出矛盾，即可得出结论．
（2）寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止．

解答 证明：（1）假设$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$都小于2，则a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$＜6．
∵a、b、c∈R⁺，
∴a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$=a+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{c}$+c≥2+2+2=6，矛盾．
∴$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中至少有一个不小于2．
（2）要证$\sqrt{1+2a}+\sqrt{1+2b}≤2\sqrt{2}$成立，需证1+2a+2$\sqrt{（1+2a）（1+2b）}$+1+2b≤8，
∵a+b=1，
∴只需证$\sqrt{（1+2a）（1+2b）}$≤2，
∵$\sqrt{（1+2a）（1+2b）}$≤$\frac{1+2a+1+2b}{2}$=2
∴要证的不等式成立．

点评 用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题．