Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（2a-1）x-2lnx，其中a为常数．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，-1）处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）将a=0代入f（x），求出f′（1）的值，从而求出切线方程；
（2）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调区间．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=-x-2lnx，f′（x）=-1-$\frac{2}{x}$，
∴k=f′（1）=-1-2=-3，
∴切线方程是：y+1=-3（x-1），
即：3x+y-2=0；
（2）f′（x）=ax+（2a-1）-$\frac{2}{x}$=$\frac{（ax-1）（x+2）}{x}$，
①a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）递减，
②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{a}$，
∴函数f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递增．

点评 本题考查了曲线的切线方程，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．