Question

（本小题满分14分）已知椭圆以 为焦点，且离心率． 
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点斜率为的直线与椭圆有两个不同交点，求的范围。
（Ⅲ）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在直线，满足（Ⅱ）中的条件且使得向量与垂直？如果存在，写出的方程；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）；（2）；（3）不存在满足题设条件的.

(1)由和可求出a,进而求出b.得到椭圆方程.
(II)设直线与椭圆方程联立消得,
因为直线与椭圆有两个交点，所以方程有两个不同的实数根，因而判别式大于零，从而求出k的取值范围。
(III),然后再用k表示出来，求出，根据,建立关于k的方程，解出k值,再验证是否符合（II）中k要求的范围。
解：(I)设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为
由题设知：1分，
由，得，2分
则3分
∴椭圆的方程为4分
（Ⅱ）过点斜率为的直线
即5分
与椭圆方程联立消得6分
由与椭圆有两个不同交点知
其得或7分
∴的范围是。8分
（Ⅲ）设，则是的二根
则，则
则10分
由题设知，∴11分
若，须12分
得13分
∴不存在满足题设条件的。14分