Question

（12分）如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，

 ，

（I）求证：CD;

（II）求AD与SB所成角的余弦值;

（III）求二面角A―SB―D的余弦值．

Answer 1

解析：（I）是矩形，      --------------1分

 　　　    又 -------------2分

　　　　                          -------------3分

 CD                 -------------4分

（II）由，及（I）结论可知DA、DC、DS两两互相垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系

                --------------5分

                               --------------6分

                        --------------7分

       AD与SB所成的角的余弦为                      --------------8分

  

（III）设面SBD的一个法向量为

                --------------9分

      

CD是CS在面ABCD内的射影，且

                                               --------------6分

              --------------8分

       从而SB与AD的成的角的余弦为 

   （III）

            面ABCD.

            BD为面SDB与面ABCD的交线.

                 SDB

         于F，连接EF，     从而得：

            为二面角A―SB―D的平面角            --------------10分

       在矩形ABCD中，对角线

       中，

      

       所以所求的二面角的余弦为                  --------------12分