Question

设f（x）=x²+bx+c（b、c为常数），方程f（x）=x的两个实数根为x₁、x₂，且满足x₁＞0，x₂-x₁＞1．
（Ⅰ）求证：b²＞2（b+2c）；
（Ⅱ）设0＜t＜x₁，比较f（t）与x₁的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意f（x）=x的两个实数根为x₁、x₂，将其转化为方程x²+bx+c-x=0的两根为x₁、x₂，根据韦达定理x₁+x₂=x₁+x₂=1-b，x₁x₂=c，再根据条件x₁＞0，x₂-x₁＞1，从而求证．
（2）构造函数g（t）=f（t）-x₁=t²+bt+c-（x₁²+bx₁+c），由已知条件0＜t＜x₁，将方程g（t）=0因式分解，从而求解．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x，得x²+（b-1）x+c=0．
∴x₁+x₂=1-b，x₁x₂=c．（2分）
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（1-b）²-4c=b²-2b+1-4c．
∵x₂-x₁＞1，
∴（x₂-x₁）²＞1．
∴b²-2b+1-4c＞1，即b²＞2（b+2c）．（6分）

（Ⅱ）g（t）=f（t）-x₁=t²+bt+c-（x₁²+bx₁+c）
=（t+x₁）（t-x₁）+b（t-x₁）=（t-x₁）（t+x₁+b）
=（t-x₁）（t+1-x₂）．（10分）
由0＜t＜x₁，知t-x₁＜0．
又∵x₂-x₁＞1，
∴1+x₁-x₂＜0，1+t-x₂＜1+x₁-x₂＜0．
∴（t-x₁）（t+1-x₂）＞0．
∴f（t）＞x₁．（14分）
点评：此题综合性很强，难度比较大，要求学生要能灵活运用所学知识，要求学生掌握一元二次方程根与系数的关系．