Question

对于函数f（x），若在其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）为“M函数”．给出下列四个函数：
①f（x）=x+1     ②f（x）=-x²+1
③f（x）=2^x-2    ④f（x）=

x

-

1

8

其中所有“M函数”的序号是（　　）

A．①③

B．②③

C．②④

D．②③④

Answer 1

分析：根据定义域求出值域，然后寻找其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），使当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]的a与b的值，即可判定．

解答：解：（1）①f（x）=x+1当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[a+1，b+1]，找不到满足条件的a与b，根据定义可知f（x）=x+1不是“M函数”
②f（x）=-x²+1，当x∈[0，1]时，f（x）的值域是[0，1]，根据定义可知f（x）=-x²+1是“M函数”；
③f（x）=2^x-2，由于它在R上是增函数，当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[2^a-2，2^b-2]，
由2^a-2=a，2^b-2=b，得2^a=a+2，2^b=b+2，由图象可知，函数y=2^x与y=x+2有两个交点，
根据定义可知f（x）=2^x-2是“M函数”；
④f（x）=

x

-

1

8

，由于它在R上是增函数，当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[

a

-

1

8

，

b

-

1

8

]，
由a=

a

-

1

8

，b=

b

-

1

8

，得

a

=a+

1

8

，

b

=b+

1

8

，由图象可知，函数y=

x

与y=x+

1

8

有两个交点，
根据定义可知f（x）=

x

-

1

8

是“M函数”；
故所有“M函数”的序号是：②③④．
故选D．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，解题的关键是将原问题转化为方程的解，进而转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想方法加以解决，属于中档题．