Question

（2012•广州一模）已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为f（x）=-x³+ax²+b，所以f′(x)=-3x2+2ax=-3x(x-

2a

3

)，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能够求出函数f（x）的单调递增区间．
（2）由（1）知，a∈[3，4]时，f（x）的单调递增区间为(0，

2

3

a)，单调递减区间为（-∞，0）和(

2

3

a，+∞)．所以函数f（x）在x=0处取得极小值f（0）=b．由此利用对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，能求出实数b的取值范围．

解答：（1）解：因为f（x）=-x³+ax²+b，
所以f′(x)=-3x2+2ax=-3x(x-

2a

3

)．…（1分）
当a=0时，f'（x）≤0，函数f（x）没有单调递增区间；…（2分）
当a＞0时，令f'（x）＞0，得0＜x＜

2a

3

．
故f（x）的单调递增区间为(0，

2

3

a)；…（3分）
当a＜0时，令f'（x）＞0，得

2a

3

＜x＜0．
故f（x）的单调递增区间为(

2

3

a，0)．…（4分）
综上所述，当a=0时，函数f（x）没有单调递增区间；
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为(0，

2

3

a)；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为(

2

3

a，0)．…（5分）
（2）解：，由（1）知，a∈[3，4]时，
f（x）的单调递增区间为(0，

2

3

a)，
单调递减区间为（-∞，0）和(

2

3

a，+∞)．…（6分）
所以函数f（x）在x=0处取得极小值f（0）=b，…（7分）
函数f（x）在x=

2a

3

处取得极大值f(

2a

3

)=

4a3

27

+b．…（8分）
由于对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，
所以

f(0)＜0 f( 2a 3 )＞0.

即

b＜0 4a3 27 +b＞0.

…（10分）
解得-

4a3

27

＜b＜0．…（11分）
因为对任意a∈[3，4]，b＞-

4a3

27

恒成立，
所以b＞(-

4a3

27

)max=-

4×33

27

=-4．…（13分）
所以实数b的取值范围是（-4，0）．…（14分）

点评：本题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力．