Question

（2013•宝山区一模）已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于

πR

3

，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R=

2

3

．

Answer 1

分析：根据球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于

πR

3

，得出AB=BC=CA=R，利用其周长得到正三角形ABC的外接圆半径r=2，故可以得到高，设D是BC的中点，在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．

解答：解：∵球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于

πR

3

，
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=

π

3

，
∴AB=BC=CA=R，设球心为O，
因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=

3

2

r=3，D是BC的中点．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=

π

3

，
所以BC=BO=R，BD=

1

2

BC=

1

2

R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得R²=

1

4

R²+9，所以R=2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查对球的性质认识及利用，以及学生的空间想象能力，是中档题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．