Question

当且仅当a＜r＜b时，圆x²+y²=r²（r＞0）上恰好有两点到直线3x+4y-15=0的距离为2，则以（a，b）为圆心，且和直线4x-3y+1=0相切的圆的方程为

 

．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于1，即可满足题意，由此求得2＜r＜4，
再由a＜r＜b 可得a=2，b=4，从而求得以（a，b）为圆心，且和直线4x-3y+1=0相切的圆的方程．

解答： 解：圆心O（0，0）到直线3x+4y-15=0的距离d=

15

5

=3，
由于圆x²+y²=r²（r＞0）上恰好有两点到直线3x+4y-15=0的距离为2，
故有|d-r|＜1，即|3-r|＜1，解得2＜r＜4．
再由a＜r＜b可得，a=2，b=4，
故（2，4）到直线4x-3y+1=0的距离为

|8-12+1|

16+9

=

3

5

，
∴以（a，b）为圆心，且和直线4x-3y+1=0相切的圆的方程为（x-2）²+（y-4）²=

9

25

．
故答案为：（x-2）²+（y-4）²=

9

25

．

点评：本题考查圆心到直线的距离公式的应用，注意题目条件的转化是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．