Question

已知椭圆的右焦点为F，右准线为l，过F作直线交椭圆C于点P、Q两点．
（I）设（O为坐标原点），求M的轨迹方程；
（II）设N是l上的任一点，求证：∠PNQ＜90°．

Answer 1

解：（1）设M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题设知．由，知M为PQ之中点，∴又P、Q在椭圆C上，则，．当x₁≠x₂时，两式相减，得，即，又，所以，化简得．
当x₁=x₂时，即PQ垂直于x轴时，此时M的坐标为（），也是满足上式．故所求的轨迹方程为．
（II）过P、Q及PQ之中点R，分别作右准线l的垂线PP₁，QQ₁，RR₁，垂足为P₁，Q，R₁，由椭圆的定义，知，∴．
又，
所以以PQ为直径的圆与l相离，所以N在以PQ为直径的圆外，所以∠PNQ＜90°．
分析：（1）设M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题设知．由，知M为PQ之中点，知，由P、Q在椭圆C上，有，．由点差法能够得到所求的轨迹方程．
（II）过P、Q及PQ之中点R，分别作右准线l的垂线PP₁，QQ₁，RR₁，垂足为P₁，Q，R₁，由椭圆的定义，知，故．由此能够证明∠PNQ＜90°．
点评：本题考查M的轨迹方程的求法和证明∠PNQ＜90°．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．