Question

已知线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动，且|MN|=4，点P在线段MN上，满足

MP

=m

MN

（0＜m＜1），记点P的轨迹为曲线W．
（1）求曲线W的方程，并讨论W的形状与m的值的关系；
（2）当m=

1

4

时，设A、B是曲线W与x轴、y轴的正半轴的交点，过原点的直线与曲线W交于C、D两点，其中C在第一象限，求四边形ACBD面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设M（a，0）、N（0，b）、P（x，y），根据

MP

=m

MN

的坐标关系列式，解出用x、y表示a、b的式子，结合a²+b²=16代入并化简整理即可得到曲线W的方程为

x2

16(1-m)2

+

y2

16m2

=1．再根据m值与

1

2

的大小关系进行讨论，即可得到各种情况下曲线W的形状；
（2）由（1）得当m=

1

4

时，曲线W表示椭圆：

x2

9

+y2=1，可得A、B两点的坐标．设C（x₁，y₁），D（-x₁，-y₁），结合图形将四边形ACBD面积表示成四个三角形面积之和，代入数据得到S_{四边形ACBD}=x₁+3y₁，最后根据椭圆方程并利用基本不等式，算出当且仅当x₁=

3 2

2

且y₁=

2

2

时，四边形ABCD面积有最大值3

2

．

解答：解：（1）设M（a，0），N（0，b），P（x，y），则a²+b²=|MN|²=16，
而由

MP

=m

MN

有：（x-a，y）=m（-a，b），解得：

a= x 1-m b= y m

，代入得：

x2

16(1-m)2

+

y2

16m2

=1．
当0＜m＜

1

2

时，曲线W的方程为

x2

16(1-m)2

+

y2

16m2

=1，表示焦点在x轴上的椭圆；
当m=

1

2

时，曲线W的方程为x²+y²=4，W为以原点为圆心、半径为2的圆；
当

1

2

＜m＜1时，曲线W的方程为

y2

16m2

+

x2

16(1-m)2

=1，表示焦点在y轴上的椭圆．
（2）由（1）当m=

1

4

时，曲线W的方程是

x2

9

+y2=1，可得A（3，0），B（0，1）．
设C（x₁，y₁），则x₁＞0，y₁＞0，
由对称性可得D（-x₁，-y₁）．
因此，S_{四边形ACBD}=S_△BOC+S_△BOD+S_△AOC+S_△AOD
=

1

2

|BO|（x₁+x₁）+

1

2

|AO|（y₁+y₁），
即S_{四边形ACBD}=x₁+3y₁，而

x12

9

+y12=1，即x12+(3y1)2=9，
所以S_{四边形ACBD}=x₁+3y₁≤2

x12+(3y1)2 2

=3

2

当且仅当

x12 9 +y12=1 x1=3y1

时，即x₁=

3 2

2

且y₁=

2

2

时取等号，
故当C的坐标为（

3 2

2

，

2

2

）时，四边形ABCD面积有最大值3

2

点评：本题给出动点P，求点P的轨迹方程并讨论相应曲线的形状，探索了四边形面积的最大值．着重考查了轨迹方程的求法、椭圆的简单几何性质和基本不等式求最值等知识，属于中档题．