Question

已知双曲线M：x²-y²=1，直线l与双曲线M的实轴不垂直，且依次交直线y=x，双曲线M，直线y=-x于A、B、C、D四个点，O为原点，若AD=AB=DC，求证：△AOD的面积为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：如图所示，设A（m，m），D（n，-n），由AD=AB=DC，利用中点坐标公式可得：B（2m-n，2m+n），C（2n-m，-2n-m）．把B点坐标代入双曲线方程可得（2m-n）²-（2m+n）²=1，可得mn=-

1

4

．利用三角形面积计算公式S=

1

2

|x1y2-x2y1|即可得出．

解答： 解：如图所示，
设A（m，m），D（n，-n），
由AD=AB=DC，可得：A为BD的中点，D为AC的中点．
∴B（2m-n，2m+n），C（2n-m，-2n-m）．
把B点坐标代入双曲线方程可得（2m-n）²-（2m+n）²=1，
化为mn=-

1

4

．
由三角形面积计算公式S=

1

2

|x1y2-x2y1|
可得S_△AOD=

1

2

|mn-(-mn)|=|mn|=

1

4

．
即：△AOD的面积为定值

1

4

．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、中点坐标公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．