Question

已知两个向量集合M={

a

|

a

=（cosα，

7-cos2α

2

），α∈R}，N={

b

|

b

=（cosβ，λ+sinβ），β∈R}，若M∩N≠∅，则λ的取值范围是（　　）

Answer 1

分析：M∩N≠Φ，即是说方程组

cosα=cosβ  7-cos2α 2 =λ+sinβ

有解，两式消去α得出3+sin²β=λ+sinβ后，移向得出λ=sin²β-sinβ-3=（sinβ-

1

2

）²+

11

4

．根据sinβ的有界性求出λ的取值范围．

解答：解：M∩N≠Φ，即是说方程组

cosα=cosβ  ① 7-cos2α 2 =λ+sinβ   ②

有解．
而

7-cos2α

2

=

7-(1-2sin2α)

2

=3+sin²α，②即为3+sin²α=λ+sinβ③
由①得sin²α=sin²β，代入③消去α得3+sin²β=λ+sinβ，移向得出λ=sin²β-sinβ-3=（sinβ-

1

2

）²+

11

4

．
∵sinβ∈[-1，1]，∴当sinβ=

1

2

时，λ的最小值为

11

4

，当sinβ=-1时，λ的最大值为5．

点评：本题考查方程思想、函数思想、分离参数的思想方法．考查分析、解决、逻辑思维、计算能力．