【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性;
(2)对a分类讨论,结合(1)中的单调性,研究函数的图象的变化趋势从而得到的取值范围.
(1),
(ⅰ)若,
当时,,为减函数;
当时,,为增函数;
当时,令,则,;
(ⅱ)若,,恒成立,
在上为增函数;
(ⅲ)若,,
当时,,为增函数;
当时,,为减函数;
当时,,为增函数;
(ⅳ)若,,
当时,,为增函数;
当时,,为减函数;
当,,为增函数;
综上所述:当,在上为减函数,
在上为增函数;
当时,在上为增函数;
当时,在上为增函数,
在上为减函数,
在上为增函数;
当时,在上为增函数,
在上为减函数,
在上为增函数.
(2)(ⅰ)当时,,令,,
此时1个零点,不合题意;
(ⅱ)当时,由(1)可知,
在上为减函数,在上为增函数,
因为有两个零点,必有,即,
注意到 ,
所以,当时,有1个零点;
当时,
取,则,
所以,当时,有1个零点;
所以,当时,有2个零点,符合题意;
(ⅲ)当时,在上为增函数,
不可能有两个零点,不合题意;
(ⅳ)当时,在上为增函数,
在上为减函数,
在上为增函数;
因为,所以,
此时,最多有1个零点,不合题意;
(ⅴ)当时,在上为增函数,
在上为减函数,
在上为增函数;
因为,
此时,最多有1个零点,不合题意;
综上所述,若有两个零点,则的取值范围是.
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【题目】某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系,在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明:在数学成绩及格的50名学生中有40人比较细心,另外10人比较粗心;在数学成绩不及格的50名学生中有20人比较细心,另外30人比较粗心.
(1)试根据上述数据完成列联表:
数学成绩及格 | 数学成绩不及格 | 合计 | |
比较细心 | 40 | ||
比较粗心 | |||
合计 | 50 | 100 |
(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系?
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线交于两点.
(1)求直线l的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知点的极坐标为,求的值.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,已知底面ABCD是边长为1的正方形,侧面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,PA与平面PBC所成角的正弦值为。
(1)求侧棱PA的长;
(2)设E为AB中点,若PA≥AB,求二面角B-PC-E的余弦值.
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【题目】如图,长途车站P与地铁站O的距离为千米,从地铁站O出发有两条道路l1,l2,经测量,l1,l2的夹角为45°,OP与l1的夹角满足tan=(其中0<θ<),现要经过P修条直路分别与道路l1,l2交汇于A,B两点,并在A,B处设立公共自行车停放点.
(1)已知修建道路PA,PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米,若两段道路的总造价相等,求此时点A,B之间的距离;
(2)考虑环境因素,需要对OA,OB段道路进行翻修,OA,OB段的翻修单价分别为n元/千米和n元/千米,要使两段道路的翻修总价最少,试确定A,B点的位置.
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【题目】如图,一个六边形点阵,它的中心是1个点(第1层),第2层每边有2个点, 第3层每边有3个点,…,依此类推,若一个六边形点阵共有217个点,那么它的层数为( )
A.10B.9C.8D.7
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【题目】已知直线x=﹣2上有一动点Q,过点Q作直线l,垂直于y轴,动点P在l1上,且满足(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知定点M(,0),N(,0),点A为曲线C上一点,直线AM交曲线C于另一点B,且点A在线段MB上,直线AN交曲线C于另一点D,求△MBD的内切圆半径r的取值范围.
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【题目】已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
3 | 2 | 4 | ||
0 | 4 |
(Ⅰ)求的标准方程;
(Ⅱ)请问是否存在直线满足条件:①过的焦点;②与交不同两点且满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
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