Question

设函数f（x）=lg（x+

x2+1

）．
（1）确定函数f （x）的定义域；
（2）判断函数f （x）的奇偶性；
（3）证明函数f （x）在其定义域上是单调增函数；
（4）求函数f（x）的反函数．

Answer 1

分析：（1）利用对数函数的性质求定义域．（2）利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性．（3）利用定义法证明单调性．（4）利用求反函数的方法求反函数．

解答：解：（1）要使函数有意义，则x+

x2+1

＞0，因为

x2+1

＞

x2

=|x|，所以x+

x2+1

＞0恒成立，所以定义域为R．
（2）f(-x)=lg?(-x+

x2+1

)=lg?

1

x+ x2+1

=lg?(x+

x2+1

)-1=-lg?(x+

x2+1

)=-f(x)，所以函数是奇函数．
（3）设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=lg?

x1+ x 2 1 +1

x2+ x 2 2 +1

．令t=x+

x2+1

，因为函数是奇函数，所以当
则当0≤x₁＜x₂时，有x12＜x22，所以

x 2 1 +1

＜

x 2 2 +1

，即x1+

x 2 1 +1

＜x2+

x 2 2 +1

，所以0＜

x1+ x 2 1 +1

x2+ x 2 2 +1

＜1，即
lg

x1+ x 2 1 +1

x2+ x 2 2 +1

＜0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以函数f （x）在其定义域上是单调增函数．
（4）由y=lg?(x+

x2+1

)得x+

x2+1

=10y，即

x2+1

=10y-x，平方得x²+1=10^2y-2x?10^y+x²，解得x=

102y-1

2?10y

，
所以原函数的反函数为y=f-1(x)=

102x-1

2?10x

．

点评：本题考查对数函数的性质，奇偶性，单调性的判断和证明以及与对数函数有关的反函数的求法，按照相关性质的定义去证明即可．