Question

和为114的三个数是一个等比数列的连续三项，也分别是一个等差数列{b_n}的第一项、第四项、第二十五项．
（1）证明：b₂₅=8b₄-7b₁；
（2）求这三个数．

Answer 1

分析：（1）根据三个数是等比数列的连续三项，也分别是一个等差数列{b_n}的第一项、第四项、第二十五项，利用通项公式可证；
（2）由（1），结合和为114的三个数是一个等比数列的连续三项，利用等比数列的通项公式，可求三个数．

解答：证明：（1）∵b₂₅=b₁+24d，8b₄-7b₁=8（b₁+3d）-7b₁=b₁+24d
∴命题成立…（2分）
（2）设这三个数分别为a，aq，aq²
则  

a+aq+aq2=114 aq2=8aq-7a

…（2分）
解之得：

q=1 a=38

，或

q=7 a=2

∴这三个数分别为38，38，38；或2，14，98…（3分）

点评：本题以数列为载体，考查等差数列与等比数列的概念与通项，有一定的综合性．